请对《信号与线性系统分析》这本书中的卷积积分给出定义介绍、公式推导和应用，不超过1000字

卷积积分是信号与线性系统分析中的一个重要概念，其定义介绍、公式推导和应用如下：

定义介绍：

卷积积分是一种数学运算，用于分析一个信号与另一个信号之间的作用，常用于分析线性系统的特性。简单来说，卷积积分是将一个信号与另一个信号在一定时间范围内相乘，并将其积分，所得的积分值即为卷积积分。卷积积分通常用符号“*”表示，即f*g。

公式推导：

卷积积分的公式推导较为复杂，以下是其基本推导过程：

设两个函数f(t)和g(t)的卷积积分为h(t)，则其数学表达式为:
h(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ

其中，t为变量，τ为积分变量。

上述公式的推导过程可以简化为如下步骤：

1. 将f(t)表示为傅里叶级数的形式： 

f(t) = Σcn(e jωnt)

其中，cn为频率为ωn的傅里叶系数。

2. 将g(t)表示为傅里叶级数的形式：

g(t) = Σdm(e jωmt)

其中，dm为频率为ωm的傅里叶系数。

3. 将f(t)和g(t)的积分展开：

f(t)g(t) = ΣcnΣdm (e jωnt) (e jωmt)

4. 将f(t)g(t)在t = τ处展开为级数，即：

f(τ)g(t-τ) = ΣcnΣdm(e jωnτ) (e jωm(t-τ))

5. 对上式进行变量代换，可得到：

f(τ)g(t-τ) = ΣcnΣdm(e jωnτ) (e jωmτ) (e jωm-t)

6. 对上式中的e jωnτ和e jωmτ进行积分，可得到：

∫f(τ)g(t-τ)dτ = ΣcnΣdme jωm-t ∫e j(ωn+ωm)τdτ

7. 对上式中出现的积分进行计算，可得到：

∫f(τ)g(t-τ)dτ = (1/2π) ΣcnΣdm e jωm-t δ(ωn+ωm)

其中，δ(ωn+ωm)为Dirac函数。

8. 将上式中的Dirac函数定义代入可得到卷积积分公式：

h(t) = f*g = (1/2π) ∫f(τ)g(t-τ)dτ 

应用：

卷积积分在信号处理中应用广泛，如：

1. 数字滤波器设计：卷积积分可以用来设计数字滤波器，以去除输入信号中不需要的频率信号。

2. 信号恢复：卷积积分可用于信号恢复，例如将损坏的音频信号与知道规律的信号卷积积分，就可以恢复出原始音频信号。

3. 信号压缩：卷积积分可用于信号压缩和数据压缩，例如将图片信号和知道的卷积核进行卷积积分，可以更好地压缩图片以节省存储空间。

总结：

卷积积分是信号与线性系统分析中的一个重要概念，其定义介绍、公式推导和应用都十分重要。在实际应用中，卷积积分可以用于数字滤波器的设计、信号恢复和信号压缩等领域。